X
تبلیغات
شوق تغییر - روش حل مسئله در ریاضی

شوق تغییر

علوم تربیتی

با سلام ... ورود شمارا به وبلاگ شوق تغییر خوش آمد میگویم ... برای مشاهده کامل مطالب از آرشیو مطالب وبلاگ استفاده کنید.

مهارت حل مسأله                                                                                                                اگر از معلمان رياضي سؤال شود كه مشكل اصلي دانش آموزان در درس رياضي چيست؟ به يقين خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند. درمطالعه تيمز نيز همين موضوع را شاهد بوديم. چون در اغلب مسأله‌هاي آزمون كتبي اين مطالعه عملكرد دانش‌آموزان پايين است. در واقع مي توانيم بگوييم دانش‌آموزان توانايي يا مهارت حل مسأله را ندارند.يكي از دلايل اين ناتواني، فقدان طراحي براي آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است. يا به عبارتي معلمان به آنها ياد نداده‌اند كه چگونه مسأله را حل كنند. هر گاه دانش‌آموزان با مسأله‌اي روبه‌رو شده و از حل آن عاجز مانده‌اند معلمان تنها به بيان راه حل يا پاسخ مسأله اكتفا كرده‌اند و نگاه‌هاي پرسش گر، كنجكاو و متحير دانش‌آموزان با اين سؤال باقي مانده است: معلم ما چگونه توانست مسأله را حل كند؟ راه حل مسأله چگونه به فكر او رسيد؟ چرا ما نتوانستيم راه حل مسأله را كشف كنيم؟ در خيلي از مواقع معلماني كه سعي كرده اند به طريقي حل مسأله را به دانش آموزان خود ياد دهند، راه را اشتباه رفته اند و آموزش هاي نادرست داده اند. براي مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهاي مسأله بسيار مهم اند. زير آن ها خط بكشيد. فراموش نكنيد كه بايد از آن ها استفاده كنيد. همين آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبي تشخيص ندهند. وقتي مسأله زير براي دانش آموزان كلاس سوم مطرح شد، آن عدد 747 را در عمليات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت هاي جمع و تفريق و ... را نوشتند: « يك هواپيماي بوئينگ 747 با 237 مسافر در فرودگاه نشست و 130 مسافر را پياده كرد. حالا اين هواپيما چند مسافر دارد؟» يا براي دانش‌آموزان گفته اند كه درمسأله بعضي از كلمه‌ها بسيار مهم است. براي مثال اگر كلمه روي هم را ديديد مسئله مربوط به جمع است و اگر كلمه اختلاف را ديديد حتماً بايد تفريق كنيد.به همين دليل در مسأله زير كه در مطالعه تيمز (2003) آمده بود، عده‌اي از دانش آموزان كلاس چهارم شركت كننده در اين مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جاي ضرب، جمع كردند. «در يك سالن سينما 15 رديف صندلي وجود دارد. در هر رديف 19 صندلي قرار دارد. اين سالن روي هم چند صندلي دارد؟» بهتر است اين روش‌هاي آموزش نادرست را به كار نبريم و به دنبال طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان باشيم. آموزش حل مسأله آيا حل مسأله آموزش دادني است؟ يكي از دلايل فقدان طرحي براي آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان، اين است كه آموزشگران رياضي تا چندين سال پيش معتقد بودند كه حل مسأله آموزش دادني نيست بلكه يك هنر يا ويژگي و توانايي است كه بعضي از انسا‌ن‌ها دارند و بعضي ندارند. بنابراين هيچ كس تلاش براي حل مسأله به دانش‌آموزان نمي‌كرد.یکي از افرادي كه در مورد چگونگي حل مسأله و آموزش آن تحقيق كرد، جرج پوليا است. حاصل كار او در كتاب «چگونه مسأله حل كنيم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام اين كتاب را ترجمه كرده است. او در مقدمه كتاب خود مي گويد: « من يك رياضيدان هستم. متخصص آموزش رياضي نيستم، اما علاقه‌مندم بدانم چرا من مي‌توانم مسأله رياضي را حل كنم و ديگران نمي‌توانند؟ چرا بعضي از دانشجويان مسأله رياضي را حل مي‌كنند ولي بعضي نمي توانند؟ او همين سؤال ها را دنبال كرد و مدلي براي تفكر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه كرد. پوليا دو حرف اساسي دارد.          1- مدل چهار مرحله اي براي تفكر حل مسأله 2- آموزش راهبردها كه البته نكته دوم در آموزش اهميت بيشتري دارد. مدل چهار مرحله‌اي پوليا فرآيند تفكر حل مسأله براي افراد مختلف متفاوت است. پوليا تلاش كرده تفكر حل مسأله را به نوعي مدل سازي كند. او الگويي چهار مرحله‌اي را مطرح كرده است. در فرآيند حل مسأله اين چهار مرحله چهار گام طي مي‌شوند تا يك مسأله رياضي به طور كامل حل شود. مدل چهار مرحله‌اي او به اين شكل است:   1- فهميدن مسأله  گام اول حل مسأله فهميدن آن است. اين گام نشان مي‌دهد، مسأله وقتي مسأله است كه نكته‌اي براي فهميدن داشته باشد. فهميدن مسئله يعني تشخيص داده ها و خواسته هاي آن و درك ارتباط بين آنها. فهم يك مسأله در واقع بخش اصلي فرآيند حل مسأله است. مسأله‌هاي پيچيده حل نمي شوند چون اغلب در فهم آنها مشكل داريم. اغلب دانش آموزان در فهميدن مسأله اشكال دارند. يكي از دلايل آن اشكال در درك مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان مي‌توانند براي طي كردن اين گام، سؤال‌هاي گوناگوني مطرح كنند به نمونه‌هاي زير توجه كنيد:             داده‌هاي مسأله چيست؟             خواسته‌هاي آن كدامند؟             مسأله را به صورت خلاصه بيان كنيد.             مسأله را به زبان و بيان خود توضيح دهيد و دوباره تكرار كنيد.             مسأله را به صورت نمايشي اجرا كنيد.             مسأله را با شكل‌ها و يا اشياء مدل سازي كنيد.             آيا معني واژه‌ها، لغات و اصطلاحات به كار رفته در مسأله را مي‌دانيد؟ سؤال‌ها و توصيه‌هايي از اين دست كمك مي كنند، دانش‌آموز در مورد مسأله بهتر فكر كند و معلمان نيز مطمئن شوند كه آنها مسأله را درك كرده‌اند. 2- طرح ريزي كردن در اين طرح مسأله از ابعاد متفاوت رياضي بررسي مي‌شود. يعني تعيين اين كه مسأله به كدام يك از شاخه‌هاي هندسه، كسر، جبر، و ... مربوط است. چگونه مي‌توان آن را مدل سازي كرد؟ كدام روش يا راهبرد براي حل آن مناسب‌تر است؟ در اين مرحله ممكن است مجبور شويم به گام فهميدن برگرديم و اين رفت و برگشت تا پيدا كردن يك راه حل مناسب ادامه مي‌يابد. در آموزش ابتدايي آن چه بيشتر از همه براي دانش‌آموزان معني دارد، تشخيص روش يا راهبرد مناسب براي حل مسأله است. به همين دليل اين گام او را به انتخاب راهبرد مي‌شناسيم.  راهبرد يعني يك روش يا راه حل عام كه در بسياري از مسائل كاربرد دارد. آموزش راهبردهاي حل مسأله، در واقع مهم‌ترين بخش حل مسأله است كه براي آموزش هنر حل مسأله راهي به دانش آموزان نشان مي‌دهد و آشكار مي‌سازد. 3- حل مسأله  در گام سوم، وقتي راهبرد مناسب براي حل مسأله مشخص شد، به حل آن اقدام مي كنيم، هنگام حل مسأله ممكن است به اين نتيجه برسيم كه راهبرد انتخاب شده مناسب نيست و به حل مسأله منجر نمي شود. بنابراين بايد به گام دوم برگرديم و راهبرد تغيير دهيم. يا حتي مجبور شويم براي فهميدن بخش‌هايي از مسأله به گام اول برگرديم.حل مسأله صرفاً نوشتن عمليات و عبارت‌هاي رياضي نيست، گاهي با انتخاب راهبرد، رسم شكل و كشيدن يك شكل مناسب مسأله به طور كامل حل مي‌شود ديگر نيازي به نوشتن عمليات نيست. يا حدس زدن پاسخ مسأله و آزمايش آن، خواسته مسأله را مشخص مي‌كند. در حالي كه عمليات و راه حل مستقيمي براي رسيدن به جواب ننوشته ايم. 4- نگاه به عقب گام چهارم را اغلب دانش‌آموزان و معلمان طي نمي‌كنند. به عبارت ديگر پيدا كردن پاسخ و حل رياضي مسأله را پايان كار مي‌دانند در حالي كه در فرآيند حل مسأله گام نگاه به عقب اهميت زيادي دارد. اين مرحله جلوه‌ها و معني‌هاي متفاوتي دارد. تفسير و ترجمه جواب رياضي مسأله در دنياي واقعي، بررسي منطقي بودن پاسخ و اين كه جواب به دست آمده همان خواسته مسأله است يا نه بررسي صحت عمليات انجام شده بررسي مجدد مراحل مسأله، تطبيق شرايط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده، بررسي مسأله با يك راهبرد يا راه حل ديگر و در نظر گرفتن ساير حالت‌ها و شرايط براي مسأله، نمونه‌هايي از كارهايي هستند كه مي‌توان در گام آخر انجام داد. راهبردهاي حل مسأله  یکی از مشکلات اصلی دانش آموزان، عدم اقدام به حل مسئله است؛ یعنی وقتی با یک مسئله مواجه می شوند،       نمی دانند از کجا باید شروع کنند و یا چگونه اقدام به حل آن نمایند. مدل پولیا از یک طرف می تواند الگویی برای شروع به دانش آموز بدهد اما از طرف دیگر ممکن است خود مانع حل، خلاقیت و آزاد اندیشی دانش آموز شود اما آموزش راهبردهای حل مسئله می تواند گام مفیدی برای حل مسئله باشد. دانش آموز در گام دوم حل مسئله  می تواند از بین راهبردهای مختلف که برای حل مسایل آموزشی دیده است، راه حل مسئله ای که با آن مواجه شده است را انتخاب کند. بررسی راهبردهای مختلف وامکان حل مسئله با آن راهبردها در واقع اقدام مهمی برای حل مسئله است. در آموزش عمومی 8 راهبرد زیر به دانش آموزان داده می شود. قبل از بیان راهبردها به نکات زیر توجه کنید: الف- زماني كه آموزش يك راهبرد مورد نظر است، از دانش‌آموزان مي‌خواهيم، مسأله‌هاي داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل كنند تا با آن به طور كامل آشنا شوند. اما با گذشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آنها مي‌توانند از هر راهبردي كه مايل هستند مسأله را حل كنند. به اين ترتيب، يك مسأله مي‌تواند با راهبردهاي متفاوت در كلاس حل شود. در صورتي كه اين اتفاق دركلاس بيفتد باعث خوشحالي و سربلندي معلم خواهد شد. ب- آموزش راهبرد يعني فراهم كردن شرايط و موقعيتي كه دانش‌آموز درك كند، راهبرد مورد نظر براي حل مسأله كارآيي دارد. ج- تعداد راهبرد زياد است اما آموزش تعداد زيادي راهبرد به دانش‌آموزان طبق تحقيقات انجام شده مناسب نيست. زيرا مانع تفكر و خلاقيت دانش‌آموز خواهد شد. در اين جا چند راهبرد بررسي مي‌شوند:        1- راهبرد رسم شكل: ضرب المثل هایی چون «شنیدن کی بود مانند دیدن» و «یک تصویر ، با ارزش تر از هزار کلمه» از دیرباز رواج داشته است. احتمالاً بسیاری از مردم با این گونه نظریات موافق اند اما قدرت و کارایی بعضی از ضرب المثل ها برای همه ی آنان آشکار نیست، یک تصویر یا شکل، در گفت و گوها و ارتباط های کلامی نقش مؤثری دارد و می تواند ارتباط بین مکان ها و موقعیت های دور از هم را به سادگی و روشنی نشان دهد. نقاشان، طراحان و تصویرگران طنز پرداز افکار خود را با تصاویر، طرح ها و نقاشی ها قابل مشاهده می کنند. در ریاضیات چه طور؟ آیا شکل ها و تصویرهای کلی می توانند به حل مسئله ها کمک کنند. طبيعي‌ترين راهبردي كه به ذهن دانش آموز مي رسد رسم شكل است. بسياري از مسائل با كشيدن شكل مناسب يا مسأله به طور كامل حل يا راه حل آنها آشكار مي‌شود. اغلب معلمان اين راهبرد (راه حل) را در حل مسأله‌ها از دانش‌آموزان نمي‌پذيرند به همين دليل اين راهبرد طبيعي كم‌كم كنار گذاشته مي‌شود. مثال زيرنشان مي‌دهد، چگونه مي‌توان از اين راهبرد در حل مسأله‌اي استفاده كرد. «در يك مزرعه 20 مرغ وگاو وجود دارد . تعداد پاهاي آنها 56 عدد است. چند مرغ و چند گاو در اين مزرعه وجود دارند؟» اين مسأله با استفاده از راهبردهاي رسم شكل، با اطلاعات دانش‌آموزان كلاس دوم دبستان قابل حل است. - ابتدا 20 دايره به جاي سرها مي‌كشيم. براي هر كدام 2 خط (2پا) درنظر مي‌گيريم تا اين جا مي‌شود 40 پا، 16 پاي باقيمانده را با اضافه كردن 2 تا 2 تا رسم مي‌كنيم.(7گاو و 13مرغ) 2-راهبردهاي زير مسأله: مسأله‌هاي پيچيده و چند هدفي معمولاً از چند مسأله ساده تشكيل شده‌اند. گاهي حل يك مسأله و يا زنجيره‌اي از زير مسأله‌ها به حل مسأله اصلي منجر مي‌شوند. تشخيص زير مسأله‌ها و حل آنها، راهبرد مهمي براي حل مسأله‌هاي تركيبي است. مسأله زير با استفاده از اين راهبرد حل شده است: «رضا 37 عدد گردو جمع كرده است. تعداد گردو‌هاي علي 17 تا بيشتر از اوست . اين دو نفر روي هم چند گردو جمع كرده اند؟» اين مسأله در واقع از دو مسأله كوچك تشكيل شده است كه با حل آنها مي‌توان پاسخ را پيدا كرد. 1- تعداد گردوهاي علي چند تا است؟ 2- تعدادگردوهاي رضا و علي روي هم چند تاست؟ پس 1- تعداد گردوهاي علي 54=14+37 2- تعداد گردوهاي رضا و علي 91=37+54 در اين راهبرد، دانش‌آموزان بايد ياد بگيرند، چگونه زير مسأله‌ها را تشخيص دهند. آ‌نها را جداگانه بنويسند و سپس به حل تك‌تك آنها اقدام كنند. در آموزش این راهبرد به دو نکته باید توجه کرد. اول تشخیص زیر مسئله ها، سپس نوشتن (تشکیل) مسئله های کوچک و حل آن ها برای رسیدن به پاسخ نهایی مسئله. شانپانره در اتاقکی زندگی می کند و گرسنه است. ناگهان در بیرون اتاقک، موزی را می بیند که روی زمین افتاده است. شانپانره می تواند دست خود را از لای میله های اتاقک بیرون آورد ولی دستش به موز نمی رسد. حیوان با جدیت تلاش می کند تا به موز دست یابد. درست روبه روی موز پشت میله ها نشسته است . در بیرون اتاقک، قطعه چوبی روی زمین افتاده است که دست حیوان به آن می رسد. ابتدا به آن توجهی نمی کند. ناگهان به هیجان می آید، چوب را بر می دارد و آن قدر تلاش می کند تا به وسیله ی چوب موز را به دست می آورد و می خورد. اگر چه این مشاهده برای آزمایش های روان شناسی هم بسیار مهم است ولی تفکری زیبا  و ریاضی گونه مربوط به حل مسئله در آن وجود دارد. در واقع، میمون دو مسئله را حل کرده است. الف) برداشتن موز ب) برداشتن قطعه چوب مسئله ی الف پیش از پیدایش مسئله ی ب وجود داشت. در ابتدا میمون هیچ علاقه ای به چوب نشان نمی داد، زیرا گرسنه بود اما می دانست که چوب خوردنی نیست با وجود این اول مسئله ی ب را حل کرد حل مسئله ی ب، راه را برای حل مسئله ی اصلی الف باز کرد. میمون مستقیماً به حل مسئله ی الف علاقه مند بود و تنها به طور غیر مستقیم متوجه ی مسئله ی ب شد. «خلاقیت ریاضی – پولیا» مسئله ی الف مسئله ی اصلی و مسئله ی ب یک زیر مسئله یا مسئله ی درون مسئله یا یک مسئله ی کمکی برای مسئله ی الف است. همه ی راهبردهایی که تاکنون مورد بحث قرار گرفته اند، با سازمان دهی اطلاعات سروکار دارند. رسم یک شکل، اطلاعات را به صورت تصویری سازمان دهی می کند. 3-راهبردهای تنظیم جدول نظام دار، حدس و آزمایش نیز به نوع دیگر، داده ها را تنظیم و مرتب می کنند. راهبرد مسئله های درون مسئله دارای نگاهی متفاوت است و با طرح نقشه و چگونگی یورش به مسئله سروکار دارد. مسئله ی زیر را به عنوان نمونه ای ساده در نظر بگیرید. «اگر 17=1- x3 ، آن گاه مقدار  4- x 2 را بیابید». برای حل این مسئله، ابتدا باید معادله ی 17=1-x3 را حل کرد و سپس مقدار x را در عبارت 4- x2 قرار داد تا جواب مسئله به دست آید. در این جا، حل معادله ی 17= 1- x 3 یک زیر مسئله برای مسئله ی اصلی است.   4- راهبرد حل مسأله ساده‌تر: گاهي مسأله پيچيدگي‌هايي دارد كه نمي‌توان آن را به راحتي حل كرد. اما وقتي آن را ساده مي‌كنيم، حل و يا روش حل آن ظاهر مي‌شود. وقتي مسأله درحالت ساده‌تر بررسي شد با يك الگو‌يابي مي‌توان آن را به حالت كلي تعميم داد. ساده كردن عددها و داده‌ها نيز بخشي از اين راهبرد است. در مسأله زير با ساده كردن عددها مي‌توان به راه حل نزديك شد. «در يك كارخانه، لوله‌هايي به طول 2متر توليد مي‌شود. در يك روز 200 عدد لوله توليد شده است. در اين روز چند متر لوله توليد شده است؟ » شكل ساده شده مسأله چنين است: يك كارخانه لوله‌هايي به طول 2 متر توليد مي‌كند. اگر 200 عدد لوله توليد شود، چند متر لوله توليد شده است؟ يعني با تغيير دادن عددها و ساده كردن آن‌ها، مي‌توان به راه حل مسأله كه ضرب است نزديك شد. 5- راهبرد حذف حالت نامطلوب یا اطلاعات اضافه: وقتي از تمام حالت‌هاي ممكن پاسخ يك مسئله و با استفاده از داده‌ها، فرض‌ها و اطلاعات مسأله حالت‌هاي نامطلوب يكي‌يكي يا دسته دسته حذف مي‌شوند، خود را به پاسخ نزديك مي‌كنيم. حذف حالت‌هاي نامطلوب، يعني كنار گذاشتن حالت‌هايي كه با شرايط و فرضيات مسأله تطبيق نداند تا رسيدن به پاسخ و حالت مطلوب كه مورد نظر مسأله است. به مثال زير توجه كنيد. يك بازي دو نفره به اين صورت انجام مي‌شود كه يك نفر عددي بين 1 تا 100 در ذهن خود مجسم مي‌كند. نفر بعد با سؤال كردن از او، به طوري كه فقط پاسخ بلي يا خير بشنود، بايد به عددي دست يابد كه در ذهن نفر اول است. سؤال آيا اين عدد دو رقمي است مناسب نيست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط 9 عدد (حالت نامطلوب) حذف مي‌شود و 90 عدد ديگر باقي مي‌ماند. سؤال آيا اين عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت يعني از حالت‌ها حذف مي‌شوند. بهترين سؤال براي شروع اين است: آيا اين عدد بين 1 تا 50 قرار دارد؟ به اين ترتيب نيمي از حالت‌ها حذف مي‌شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدي اين است كه آيا عدد بين 1 تا 25 است؟ به همين ترتيب، با نصف كردن، عددهاي نامطلوب كم كم حذف مي شوند تا به عدد مورد نظر دست يابيم. 5- سازمان دهی داده ها و جدول نظام دار: مرتب کردن داده ها، قرار دادن آن ها دریک جدول و سازمان دهی داده ها، راهبرد مناسبی برای حل مسئله است و دانش آموزان در دوره ی ابتدایی باید آن را فرا بگیرند. پس از آن باید یاد بگیرند که چگونه داد ها را در یک جدول با نظم منطقی مرتب کنند. تشکیل جدول به صورت نظام دار این اطمینان را ایجاد می کند که تمام حالت های مختلف در نظر گرفته شده اند. «تعدادی سکه ی 5 تومانی، 10 تومانی و 25 تومانی در اختیار داریم. با چه تعداد از هر کدام یا ترکیب آن ها می توانیم 50 تومان پول جدا کنیم؟» 2 0 0 1 10 تعداد سکه ی 5 تومانی 4 5 0 2 0 تعداد سکه ی 10 تومانی 0 0 2 1 0 تعداد سکه ی 25 تومانی         پاسخ های مختلف این مسئله را با حدس زدن و انجام محاسبات (ذهنی) می توان پیدا کرد و آن ها را در جدولی به شکل زیر سازماندهی کرد. اما با روش فوق نمی توانیم از این که تمام پاسخ های درست را پیدا کرده ایم یا خیر با روش منطقی اطمینان حاصل کنیم. اما اگر پاسخ ها را با یک نظم در جدول می نوشتیم با تشکیل جدولی نظام دار می توانستیم مطمئن شویم که تمام حالت های ممکن را در نظر گرفته ایم. در جدول نظام دار زیر، نظم نوشتن اعداد به این ترتیب است. از سکه ی 25 تومانی شروع می کنیم و بزرگ ترین عدد ممکن را قرار می دهیم سپس براساس سکه ی 10 تومانی بزرگ ترین عدد ممکن را قرار داده به همین ترتیب پیش می رویم.   10 8 6 4 2 0 5 3 1 0 5 تومانی 0 1 2 3 4 5 0 1 2 0 10 تومانی 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 25 تومانی به این ترتیب، تمام 10 حالت ممکن به دست می آید. 6-حدس و آزمایش: حدس زدن برای بیشتر مردم چیز جدیدی نیست. هر دانش آموزی بارها در طول تحصیل آگاهانه یا ناخودآگاه در مورد جواب سؤال و مسائل حدس هایی زده است. روش حدس زدن، در زندگی روزمره از دوران کودکی تا بزرگ سالی مورد استفاده قرار می گیرد. دانشمندان هم از این روش استفاده می کنند، بنابراین، حدس و آزمایش نه تنها یک راهبرد، بلکه یک گردش و طرز فکر نیز هست. ممکن است پس از آموختن راهبرد حدس و آزمایش، احساس کنید که این کار نوعی تقلب است اما در واقع چنین نیست و واقعاً این روش برای حل مسئله مؤثر است. حدس و آزمایش در فهمیدن مسئله به ما بسیار کمک می کند و به طور شگفت انگیزی نقطه ی شروع حل مسئله را به ما نشان می دهد. این راهبرد گاهی خیلی سریع به جواب می رسد و گاهی ممکن است امیدوار کننده نباشد. نباید دل سرد شویم بلکه باید با سازمان دهی بهتر و نظام دار همراه با سماجت برای حل مسئله تلاش کنیم. وقتی حدس می زنیم و آزمایش می کنیم، باید اعتماد داشته باشیم که می توانیم مسئله را حل کنیم، حتی اگر در آغاز نتوانسته باشیم آن را خوب درک کنیم. باید حدس هایمان را هوشمندانه و با روشی نظام دار مورد ارزیابی قرار دهیم و تلاش کنیم حدس های بهتری بسازیم. پس از حدس زدن، نوبت به آزمایش کردن حدس می رسد که نیازمند اجرای عملیات ریاضی و محاسباتی است. بنابراین، آزمایش کردن گاهی زحمت و درد سر هم دارد ولی نتیجه ی کار هر چه باشد، گاهی به جلو است. گاهی ماهیت مسئله چنان است که با حدس و آزمایش نمی توان جواب را به راحتی به دست آورد ولی می توان تقریب و تخمین خوبی برای جواب به دست داد. این راهبرد نیز معمولاً توسط معلمان مورد قبول واقع نمی شود در حالی که راهبردی مناسب برای حل مسایل است. در این راهبرد، دانش آموز پاسخ مسئله را حدس می زند. پس از بررسی حدس خود و آزمایش کردن آن، حدس بعدی را با استدلالی منطقی مشخص می کند. با ادامه دادن این فرآیند، کم کم فرد به پاسخ درست مسئله می رسد. در آموزش این راهبرد 4 نکته اهمیت دارد. اول آن که دانش آموز حدس دوم به بعد را براساس نتایج بررسی حدس قبلی خود و با استدلالی منطقی تعیین می کند. دوم او باید یاد بگیرد مراحل حدس و آزمایش خود را به صورت مکتوب ارائه و استدلال خود را بیان کند، به طوری که دیگران قادر به درک مراحل حدس و آزمایش او شوند. همان مسئله مرغ و گاه را با راهبرد حدس و آزمایش به ترتیب زیر نیز می توان پاسخ داد.     نتیجه بررسی تعداد گاو تعداد مرغ چون تعداد پاها بیش تر از 54 شد، تعداد گاوها باید کم شود چون تعداد پاها بیش تر از 54 شد، تعداد گاوها باید کم شود پاسخ درست 60=4×10+2×10 56=4×8+2×12 54=4×7+2×13 10 8 7   10 12 13   7- الگویابی: اهمیت مطالعه ی الگوها به حدی است که ریاضیات را علم الگوها نیز نامیده اند. الگوها در همه جا حضور دارند، در زندگی روزانه هزاران الگو وجود دارد. طراحی های صنعتی، رفت و آمد وسایل نقلیه، برنامه های تلویزیونی، سنگ فرش خیابان ها و منازل و پارک ها، طراحی های هنری و معماری همگی نشانه هایی از وجود الگوها در زندگی روزانه هستند.( طراحی فرش) نگاه آگاهانه و دقیق برای یافتن الگوها مهارتی مهم است که وجود آن برای حل مسئله و به طور کلی، مطالعه ی هستی ضرورت دارد. توانایی الگویابی موجب می شود که مسائل پیچیده به حد الگوها تنزل یابند و با استفاده از الگو به حل مسئله نایل شویم. معمولاً کلید یافتن یک الگو، سازمان دهی و تنظیم داده هاست. به همین دلیل، راهبردهای ارائه شده مورد استفاده قرار می گیرند. کشف الگو و رابطه های بین داده های مسئله به حل آن کمک می کند. راهبرد الگویابی برای مسایلی که با استفاده از رابطه ها  و قواعد تکرار پذیر طرح می شوند، مفید است. گاهی کشف الگو همان حل مسئله است و در مواقعی پیدا کردن الگو راه را برای حل مسئله باز می کند. به مسئله ی زیر توجه کنید. با توجه به جدول مقابل اگر یک مجموعه n عضو داشته باشد، تعداد زیر مجموعه های آن چند تاست؟   4 3 2 1 0 تعداد عنصرهای یک مجموعه 16 8 4 2 1 تعداد زیر مجموعه ها با کشف الگویی که در جدول فوق وجود دارد می توان رابطه ی n2 را به دست آورد.در واقع راهبرد مناسب برای حل این مسئله الگویابی است. 8- روش های جبری و تشکیل معادله: مدل سازی بسیاری از مسئله ها با روش های جبری است. تشکیل معادله یا معادلات مسئله را به دنیای ریاضی برده و آن را به یک مسئله جبری (ریاضی) تبدیل می کند. این راهبرد بیش تر در سال های پایانی آموزش عمومی کاربرد وسیع دارد. جمعه بازار: دست فروشی اجناس خود را در یک جمعه بازار حراج کرده بود. او هر قلم جنس را به قیمت هزار تومان        می فروخت و سعی می کرد به هر مشتری فقط، یک قلم جنس بفروشد، البته اگر مشتری های خوب چانه می زدند، نمی توانستند جنس مورد نیاز خود را به نصف قیمت هم از او بخرند. دست فروش در پایان روز متوجه شد که همه ی دوازده قلم جنس خود را فروخته و 9500 تومان به دست آورده است. در صورتی که او از هر خریدار فقط یک اسکناس هزار تومانی یا پانصد تومانی دریافت کرده باشد، از هر کدام از این اسکناس ها چند تا دارد؟ برای حل این مسئله، ابتدا یک جدول حدس و آزمایش تنظیم کنید و سپس از جبر استفاده کنید. قبل از نگاه کردن به راه حل ، روی مسئله کار کنید. معلم جدول حدس و آزمایش را روی تابلو رسم کرد و چگونگی شروع کار روی مسئله را توضیح داد. آن گاه به کمک دانش آموزان دو ردیف اول جدول را نوشت. مقایسه کل پول مقدار پانصد تومانی ها مقدار هزار تومانی ها اسکناس پانصد تومانی اسکناس هزار تومانی کم تر 8500 3500 5000 7 5 بیش تر 10000 2000 8000 4 8  معلم قبل از این که به جواب برسد از دانش آموزان خواست که حل مسئله را به کمک راهبرد جبری ادامه دهند. یکی از دانش آموزان این مسئله را با استفاده از راهبرد جبری حل کردند و راه حل را به این صورت برای کلاس توضیح دادند. استدلال: ابتدا تصمیم گرفتم تعداد هزار تومانی ها را با t نشان بدهم، بنابراین، t را در ستون هزار تومانی ها زیر عدد 8 نوشتم. سپس سعی کردم. بفهم که در ستون دوم، زیر عدد 4 چه عبارتی را باید قرار دهم. چون دست فروش 12 قلم جنس داشت، بنابراین، اختلاف 12 و t بایستی تعداد 500 تومانی ها را مشخص کند، پس در ستون دوم زیر عدد 4 بایستی یکی از دو عبارت t -12 و 12- t را می نوشتم؛ من با دوستم روی مسئله کار کردم. او گفت که 12- t غلط است، برای این که اگر 8= t، آن گاه 12- tبرابر 4- می شود که معنی نمی دهد. او گفت که باید t-12 را نوشت. دو حدس قبلی را با t-12 آزمایش کردیم، هر دو درست بودند.                                                                                         7=5-12 و 4=8-12 بنابراین تصمیم گرفتیم t-12 را درستون دوم زیر عدد 4 بنویسیم. دوباره به حدس های قبلی نگاه کردم و متوجه شدم که باید ستون های مجموع هزار تومانی ها و پانصد تومانی ها را کامل کنم. این دو ستون را فوراً تکمیل کردم. چون می دانستم که باید اولی را در 1000 و بعدی را در 500 ضرب کنم. مقایسه کل پول کل مقدار پانصد تومانی ها کل مقدار هزار تومانی ها پانصد تومانی ها هزار تومانی ها     3500 5000 7 5     2000 8000 4 8 (t-12) 500+ t1000 (t-12) 500 t1000 12- t t برای محاسبه کل پول، مشکلی نداشتیمف زیرا می دانستیم که مقدار پانصد تومانی ها و هزار تومانی ها را باید با هم جمع کنیم. اما مسئله ی اصلی، نوشتن معادله بود. ابتدا نمی دانستیم این کار را چگونه باید انجام دهیم. با استفاده از راهبرد حدس و آزمایش و با مشاهده ی ستون آخر جدول، متوجه شدیم زمانی به جواب می رسیم که در ستون آخر نه کلمه ی بیش تر و نه کلمه ی کم تر، بلکه باید کلمه ی مساوی باشد، اما با چه چیزی باید مساوی باشد؟ صورت مسئله را با دوستم دوباره خواندیم و متوجه شدیم که باید با 9500 تومان برابر شود. بنابراین، در ستون آخر نوشتیم؟ 9500=( t-12) 500+ t 1000 در این جا نفس راحتی کشیدیم، زیرا حل این معادله کار واقعاً ساده ای بود. 9500=( t-12) 500+ t 1000 9500 = t 500 – 6000 + t 1000 9500= 6000 + t 500 3500 = t 500 7= t من عادت دارم که در پایان عملیات جبری در حل یک مسئله، جواب را با سؤال مسئله مقایسه کنم. در این مسئله وقتی    7= t را به عنوان جواب یادداشت کردم، آن را با سؤال مقایسه کردم. و متوجه شدم که مسئله از ما می پرسد! او از هر نوع اسکناس چند تا دارد؟ در این جا من فقط یک عدد به عنوان جواب داشتم، در صورتی که دو نوع اسکناس وجود داشت. به جدول دقت کردم، ستون اول و دوم تعداد هر نوع اسکناس را مشخص می کرد. معلوم شد اگر تعداد 1000 تومانی ها t باشد، تعداد پانصد تومانی ها t-12 است، بنابراین، تعداد اسکناس های 500 تومانی: 5=7-12 یکی دیگر از دانش آموزان این مسئله را از راهی مشابه ادامه داد و تصمیم گرفت به جای یک متغیر از دو متغیر استفاده کند. او به جای این که تعداد 500 تومانی ها را با t-12 نشان دهد، از نماد n استفاده کرد. به صورت جدول زیر: مقایسه کل پول مقدار پانصد تومانی ها مقدار هزار تومانی ها کل اسکناس ها تعداد پانصد تومانی ها تعداد هزار تومانی ها کم تر 7500 2500 5000 10 5 5 کم تر 9000 7000 2000 16 14 2 بیش تر 10000 2000 8000 12 4 8 9500=n 500 + t 1000 n 500 t 1000 n + t n t   این دانش آموز از دستگاه دو معادله ی دو مجهول استفاده کرد. یک معادله به وضوح 9500=n 500 + t 1000 است. ولی معادله دیگر چگونه به دست می آید؟ ستون سوم، دومین معادله را مشخص می کند. تعداد اسکناس ها برابر تعداد جنس ها ست، بنابراین، معادله ی دوم 12 = n +t  خواهد بود. نهایتادست فروش 5 اسکناس 500 تومانی و 7 اسکناس 1000 تومانی دارد. نتیجه: در پایان با استفاده از این راهبردها و به کمک آن ها به حل مسائل می پردازیم. شاید این سؤال پیش آید که آیا هر مسئله ای از طریق یک راهبرد حاصل حل می شود، در پاسخ این سؤال به این نکته اشاره می کنیم که یکی از راه هایی که دانش آموز را به یک مسئله حل کن ماهر تبدیل می کند، این است که از طریق راهبردهای گوناگون به حل مسئله بپردازد. عامل دوم که موجب مهارت در حل مسئله می شود، دست به عمل زدن و حل کردن تعداد زیادی مسئله است بنابراین قبل از مطالعه ی راه حل مثال های مورد نظر و بررسی آن ها برای حل مسئله تلاش کند. این کار بسیار سودمند است حتی اگر مسئله را درست حل نکنید. بررسی و بحث در مورد راه حل ها عامل سومی است که دانش آموز را به مسئله حل کن ماهری تبدیل می کند. راه حل ها را برای دوستان و هم کلاسی ها خود توضیح دهید تا مورد نقد و سؤال قرار گیرید. سپس سعی کنید به سؤال ها پاسخ منطقی بدهید. احساس خود را نسبت به چگونگی راه حل ها بیان کنید و در مورد زیبایی آن ها قضاوت نمایید. راه حل های نادرست را کم اهمیت نشمارید، زیرا گاه نسبت به راه حل های معمولی حاوی نکات زیباتر و ارزشمندتری هستند. همیشه پس از این که مسئله ای را حل کردید، راه حل آن را با دقت بسیار بنویسید.

[ شنبه 14 مرداد1391 ] [ 3:21 قبل از ظهر ] [ مریم قربانی ]

[ ]



مجله اینترنتی دانستنی ها ، عکس عاشقانه جدید ، اس ام اس های عاشقانه